Mannigfaltigen

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mannigfaltig (Deutsch). Wortart: Adjektiv. Steigerungen: Positiv mannigfaltig, Komparativ mannigfaltiger, Superlativ am mannigfaltigsten. Silbentrennung. Beispiele: [1] „Die Frage ist nur die, ob es möglich sein wird, solche mannigfaltigen Kreise und Persönlichkeiten unter einer Parole dauernd gesammelt zu halten. mannigfaltig. (weiter geleitet durch mannigfaltigen). mạn·nig·fal·tig. Adj. mạn·nig·​fal·.

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Fehlerhafte Schreibweisen und Suchanfragen für mannigfaltig. Verwendung: kaum. Synonyme vor und nach mannigfaltig.

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Satz vom regulären Wert. Der Begriff der Mannigfaltigkeit geht auf Bernhard Riemann zurück. In späteren Arbeiten entwickelte er die riemannschen Flächen , die wahrscheinlich die ersten abstrakten Mannigfaltigkeiten waren.

Mannigfaltigkeiten werden zur Abgrenzung manchmal abstrakt genannt, um auszudrücken, dass sie keine Teilmengen des euklidischen Raums sind.

Sie besagt, dass jede einfach-zusammenhängende , kompakte dreidimensionale Mannigfaltigkeit homöomorph zur 3-Sphäre ist.

Für diese Vermutung veröffentlichte Grigori Jakowlewitsch Perelman im Jahr einen Beweis, der zwar nicht in einer referierten Fachzeitschrift, sondern nur im Internet veröffentlicht wurde, jedoch von der Fachöffentlichkeit als richtig angesehen wird.

Jedoch wurden erst durch die Veröffentlichungen von Hassler Whitney aus dem Jahr Mannigfaltigkeiten zu einem etablierten mathematischen Objekt.

Sein wohl bekanntestes Resultat ist der Einbettungssatz von Whitney. Mannigfaltigkeiten erben viele lokale Eigenschaften vom Euklidischen Raum: sie sind lokal wegzusammenhängend, lokalkompakt und lokal metrisierbar.

Mannigfaltigkeiten, welche homöomorph zueinander sind, werden als gleich beziehungsweise äquivalent angesehen.

Daraus entstand die Frage nach der Klassifikation , also die Frage, wie viele nicht äquivalente Mannigfaltigkeiten es gibt. Um differenzierbare Funktionen zu betrachten, reicht die Struktur einer topologischen Mannigfaltigkeit nicht aus.

Diese Verträglichkeit ist eine Äquivalenzrelation. Da die topologische und die differenzierbare Kategorie in niedriger Dimension übereinstimmen, sind solche Resultate nur schwer zu veranschaulichen.

Die Vereinigung aller Tangentialräume einer Mannigfaltigkeit bildet ein Vektorbündel , das Tangentialbündel genannt wird. Zusammenhängende Komplexe Mannigfaltigkeiten der Dimension 1 werden als Riemannsche Flächen bezeichnet.

Andere spezielle komplexe Mannigfaltigkeiten sind die Steinschen Mannigfaltigkeiten und die Kählermannigfaltigkeiten , die komplexe, riemannsche Mannigfaltigkeiten sind.

Um auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit von Längen, Abständen, Winkeln und Volumen zu sprechen, benötigt man eine zusätzliche Struktur.

Durch die Skalarprodukte sind zunächst Längen von Vektoren und Winkel zwischen Vektoren definiert, davon ausgehend dann auch Längen von Kurven und Abstände zwischen Punkten auf der Mannigfaltigkeit.

Ist statt eines Skalarprodukts in jedem Tangentialraum nur eine nicht notwendig symmetrische Norm definiert, so spricht man von einer Finsler-Metrik und einer Finsler-Mannigfaltigkeit.

Andere Verallgemeinerungen riemannscher Mannigfaltigkeiten sind Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten auch Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten genannt , die zum Beispiel in der Allgemeinen Relativitätstheorie auftreten.

Hier braucht die durch die Metrik in jedem Tangentialraum definierte symmetrische Bilinearform nicht positiv definit zu sein, sondern nur nicht-ausgeartet.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die Raumzeit durch eine vierdimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit, also mit der Signatur 3,1 bzw.

Eine Banach-Mannigfaltigkeit ist ein Hausdorffraum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt und der lokal homöomorph zu einem beliebigen Banachraum ist und die übliche Kartenwechsel-Bedingung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit erfüllt.

Die Kartenwechsel können frechet-differenzierbar und die Dimension dieser Mannigfaltigkeiten kann unendlichdimensional sein.

Somit kann dieser Typ Mannigfaltigkeit als Verallgemeinerung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit verstanden werden.

Eine Lie-Gruppe ist sowohl eine differenzierbare Mannigfaltigkeit als auch eine Gruppe , wobei die Gruppenmultiplikation beziehungsweise Addition und das Invertieren eines Gruppenelements differenzierbare Abbildungen sein müssen.

Man kann sich diese Mannigfaltigkeit als einen Kreis vorstellen und die Gruppenoperation ist eine Drehung dieses Kreises.

Mannigfaltigkeiten, welche bis jetzt in diesem Artikel abgehandelt wurden, sind unberandet. Berandete Mannigfaltigkeiten sind auch keine Mannigfaltigkeiten im obigen Sinn, jedoch ist ihre Definition sehr ähnlich.

Ein Beispiel für eine kompakte berandete Mannigfaltigkeiten ist die abgeschlossene Vollkugel, die die Sphäre als Rand hat.

Diese ist selbst eine unberandete Mannigfaltigkeit. Auf berandeten Mannigfaltigkeiten kann man zusätzliche Strukturen ähnlich wie auf unberandeten Mannigfaltigkeiten definieren.

Es ist zum Beispiel möglich, auf gewissen Mannigfaltigkeiten mit Rand eine differenzierbare Struktur zu definieren oder von Orientierbarkeit zu sprechen.

Eine weitere wesentliche Eigenschaft von berandeten oder unberandeten Mannigfaltigkeiten betrifft die Orientierbarkeit bzw.

Nicht-Orientierbarkeit der Mannigfaltigkeit. Wie die folgenden Beispiele zeigen, kommen alle vier Kombinationen mit bzw.

Ein Atlas dieser Mannigfaltigkeit ist gegeben durch die beiden stereographischen Projektionen.

Ein einfaches Beispiel einer berandeten und orientierbaren Mannigfaltigkeit betrifft ein abgeschlossenes Rechteck wie in nebenstehender Skizze.

Diese kann in den dreidimensionalen euklidischen Raum als Mantelfläche eines Zylinders eingebettet werden. Diese wird Möbiusband genannt.

Malasar

5 thoughts on “Mannigfaltigen

  1. Nach meiner Meinung irren Sie sich. Ich kann die Position verteidigen. Schreiben Sie mir in PM, wir werden reden.

  2. Es ist schade, dass ich mich jetzt nicht aussprechen kann - ich beeile mich auf die Arbeit. Aber ich werde befreit werden - unbedingt werde ich schreiben dass ich in dieser Frage denke.

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